sexta-feira, 16 de novembro de 2012

Desconto Simples



Desconto Simples Comercial ou Bancário (Por Fora)
    Um dos modelos de juros simples mais utilizados no mercado financeiro é o chamado juro antecipado, juro adiantado, desconto de títulos ou simplesmente desconto bancário. Este é o modelo utilizado na modalidade de desconto e também por empresas de factoring, bem como em transações de curto prazo quando o pagamento for efetuado em uma única parcela, inclusive para cálculo de preço de venda.
Este modelo consiste em calcular o Valor Presente descontando do Valor Futuro (Valor de Face) uma parcela igual ao produto do Valor Futuro pela “taxa de juros” e pelo número de períodos até o vencimento do título negociado. (KUHNEN, 2008).
 Valor do Desconto Simples Comercial
Valor Presente com Desconto Simples Comercial
 Valor Futuro com Desconto Simples Comercial
   
Número de Períodos com Desconto Simples Comercial
 
Taxa de Desconto Simples Comercial
 
Exemplos
 1)   (CRESPO, 2002). Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
a)   O valor do desconto comercial;
b) O valor atual comercial.

Desconto Simples Racional



Unidade 4
Desconto Simples Racional (Por Dentro)
    O desconto simples racional (Dr) também chamado de desconto por dentro ou desconto real é equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
Na pratica, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do desconto racional porque, o desconto composto está ligado a esse conceito. (CRESPO, 2002).
 Valor do Desconto Simples Racional
   
Valor Presente com Desconto Simples Racional
    
Valor Futuro com Desconto Simples Racional
 
Número de Períodos com Desconto Simples Racional
 
  Taxa de Desconto Simples Racional

Montante



Montante
O montante é o resultado da soma do capital com o juro. Matematicamente:
 (considerando-se  a representação de Montante)
Como é o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o montante é calculado apenas no fim da capitalização.
Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value); C .
1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8000(1 + 0,03)^14
M = 8000.1,03^14
M = 8000.1,512589725 = 12100,7178
2. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?
M = C(1 + i)^n
M = 6800(1 + 0,038)^4
M = 6800.1,038^4
M = 6800.1,160885573 = 7894,021896
3. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?

Montante



Montante
O montante é o resultado da soma do capital com o juro. Matematicamente:
 (considerando-se  a representação de Montante)
Como é o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o montante é calculado apenas no fim da capitalização.
Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value); C .
1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8000(1 + 0,03)^14
M = 8000.1,03^14
M = 8000.1,512589725 = 12100,7178
2. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?
M = C(1 + i)^n
M = 6800(1 + 0,038)^4
M = 6800.1,038^4
M = 6800.1,160885573 = 7894,021896
3. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?
M = C(1 + i)^n
146853 = 100000(1 + 0,03)^n
1,03^n = 146853/100000
1,03^n = 1,46853
log(1,03^n) = log(1,46853)
n.log(1,03) = log(1,46853)
n = log(1,46853)/log(1,03)
n = 0,166882823/0,012837225
n = 12,99991446 => 13 meses

Juros Compostos



Juros Compostos
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro.
 As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?

A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.



No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação


Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.

Exemplo 2

Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?

C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses

M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.

Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.

Exemplo 3
Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?

M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02

M = C * (1 + i)t
15237,43 = C * (1 + 0,02)10
15237,43 = C * (1,02)10
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00

O capital é de R$ 12.500,00.


Calculando a taxa de juros da aplicação.

Exemplo 4
Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?

C: R$ 8.000,00
M: R$ 10.145,93
t: 12
i: ?


A taxa de juros da aplicação foi de 2%.

Juros Simples



Unidade 3
Juros Simples
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital.
Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo.
Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros simples.

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação.
 Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C * i * t, onde

J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = C + J

M = montante final
C = capital
J = juros

Percentagem



Percentagem
Percentagem? Ora, isto todo mundo sabe!!!
Bem, o mais correto é dizer que todo o mundo ouviu falar sobre percentagens ou porcentagens. Nossa experiência é que esse é um assunto onde a grande maioria das pessoas, de alunos a até mesmo muitos professores cometem erros grosseiros e usam métodos super-complicados para resolverem os mais simples problemas.
Essa deficiência é indesculpável na medida em que o cálculo de percentagens, muito provavelmente, é o assunto matemático mais útil que se estuda na Escola. É objetivo deste texto ajudar a sanar essa deficiência.
Significado do sinal de percentagem: %

Regra de Três Simples e Composta



Unidade 2
Regra de Três Simples e Composta
Definição: Regra de três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais. 

Regra de Três Simples
O problema que envolve somente duas grandezas  diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.
Exercício de fixação da definição: 
Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas? 
Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário
Cálculo:
Distância 1  =  480 Km - 02 horas
Distância 2  =   ?   Km - 06 horas 
01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 Km x 6
Resultado: 1440 Kms
Método mais prático de solução da regra de três simples
Faça um X  na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km
480 km - 02 horas
            X
  ?   km - 06 horas
Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais



Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros.
As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.


Grandezas diretamente proporcionais

São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida à metade.

Proporção



Proporção
A igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale lembrar que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de proporções a seguir:

 é uma proporção, pois 10:20 = 3:6

 é uma proporção, pois 9:12 = 3:4

As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma operação denominada multiplicação cruzada.


9 x 4 = 12 x 3
    36 = 36


Multiplicação cruzada

4 x 15 = 6 x 10
      60 = 60


As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problema envolvendo informações comparativas, na regra três a proporcionalidade é usada no intuito de calcular o quarto valor com base nos três valores estabelecidos pelo problema.
 Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importância do estudo das proporções.

EXEMPLOS

RAZÃO



Unidade 1
Razão
Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:
  • a:b
As razões acima podem ser lidas como:
  • razão de a para b
  • a está para b
  • a para b
Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.
Razão inversa ou recíproca
Vejamos as seguintes razões:
 e
Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.
Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.
Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.
Agora vejamos as seguintes razões:
  e 2
A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.
Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:
A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.
Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.
Razão centesimal
Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão centesimal.
Exemplos